Back

ⓘ לוקליזציה (תורת החוגים)



                                     

ⓘ לוקליזציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, לוקליזציה היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R {\displaystyle R} ותת קבוצה של איברי החוג, S {\displaystyle S}, רוצים לבנות חוג חדש R ∗ {\displaystyle R^{*}} והעתקת חוגים מ- R {\displaystyle R} ל- R ∗ {\displaystyle R^{*}} כך שכל אחד מאיברי S {\displaystyle S} יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב- R ∗ {\displaystyle R^{*}}. יתר על כן, דורשים כי R ∗ {\displaystyle R^{*}} יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש- *R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי S − 1 R {\displaystyle \,S^{-1}R}, או אם S = R − p {\displaystyle \,S=R-{\mathfrak {p}}}, כאשר p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} הוא אידיאל ראשוני, על ידי R p {\displaystyle \,R_{\mathfrak {p}}}.

                                     

1. בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

יהי R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה S {\displaystyle S} ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם a, b ∈ S {\displaystyle a,b\in S} אז a ⋅ b ∈ S {\displaystyle a\cdot b\in S}, וכמו כן נניח כי 1 ∈ S {\displaystyle \,1\in S}. על הקבוצה R × S {\displaystyle \,R\times S} נחשוב כעל קבוצת שברים r s {\displaystyle \,{\frac {r}{s}}}. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי r 1, s 1 ∼ r 2, s 2 {\displaystyle r_{1},s_{1}\sim r_{2},s_{2}} אם קיים t ∈ S {\displaystyle \,t\in S} כך ש t r 1 s 2 − r 2 s 1 = 0 ∈ R {\displaystyle \,tr_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0\in R}. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- r 1 s 2 − r 2 s 1 = 0 {\displaystyle \,r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0}, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה 0 1 {\displaystyle {\frac {0}{1}}} ואיבר היחידה יהיה 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}}.

על קבוצת המנה R × S / ∼ {\displaystyle \,R\times S/\sim } נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

r 1 s 1 + r 2 s 2 = r 1 s 2 + r 2 s 1 s 1 s 2 r 1 s 1 ⋅ r 2 s 2 = r 1 r 2 s 1 s 2 {\displaystyle \,{\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}}\\qquad {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\cdot {\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}}}.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב S − 1 R {\displaystyle \,S^{-1}R} מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של S {\displaystyle S}.

ההעתקה ϕ: R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} הנתונה על ידי ϕ r = r 1 {\displaystyle \phi r={\frac {r}{1}}} היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב- S לאיבר הפיך.

                                     

2. כלליות ומינימליות

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג המינימלי בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג R ′ {\displaystyle R} אחר עם מונומורפיזם φ: R → R ′ {\displaystyle \varphi:R\rightarrow R} וכך שתמונות איברי S {\displaystyle S} הפיכים ב R ′ {\displaystyle R}, אז בהכרח קיים מונומורפיזם ψ: S − 1 R → R ′ {\displaystyle \psi:{S}^{-1}R\rightarrow R}. כך ש- φ = ψ ∘ ϕ {\displaystyle \varphi =\psi \circ \phi }, כאשר ϕ {\displaystyle \phi } הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את ψ: S − 1 R → R ′ {\displaystyle \psi:{S}^{-1}R\rightarrow R} על פי הכלל: ψ r s = φ r φ s − 1 {\displaystyle \psi \left{\frac {r}{s}}\right=\varphi r\varphi s^{-1}}. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - ψ ∘ ϕ r = ψ ϕ r) = ψ r 1 = φ r φ 1 − 1 = φ r {\displaystyle \psi \circ \phi r=\psi \phi r)=\psi \left{\frac {r}{1}}\right=\varphi r{\varphi 1}^{-1}=\varphi r}.

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים S − 1 R {\displaystyle {S}^{-1}R}. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים R, S − 1 R, R ′ {\displaystyle R,{S}^{-1}R,R}, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

                                     

3. מבנה כחוג

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם I ≤ R {\displaystyle I\leq R} אידיאל, גם S − 1 I ≤ S − 1 R {\displaystyle S^{-1}I\leq S^{-1}R} אידיאל. בכיוון ההפוך, אם J ≤ S − 1 R {\displaystyle J\leq S^{-1}R} אידיאל, אז J = S − 1 A {\displaystyle J=S^{-1}A} עבור A = { a ∈ R: a 1 ∈ J } {\displaystyle A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}}. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם I ≤ R {\displaystyle I\leq R} אידיאל ו- S ∩ I ≠ ϕ {\displaystyle S\cap I\neq \phi }, אז S − 1 I = S − 1 R {\displaystyle S^{-1}I=S^{-1}R} כי יש בו איבר הפיך.

אם R {\displaystyle R} חוג נותרי או ארטיני, כך גם S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R}.

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים J ∈ Spec ⁡ S − 1 R {\displaystyle J\in \operatorname {Spec} S^{-1}R} אם ורק אם A = { a ∈ R: a 1 ∈ J } ∈ Spec ⁡ R {\displaystyle A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}\in \operatorname {Spec} R}. אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את S {\displaystyle S}, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית { A ∈ Spec ⁡ R: A ∩ S = ϕ } ↔ Spec ⁡ S − 1 R {\displaystyle \{A\in \operatorname {Spec} R:A\cap S=\phi \}\leftrightarrow \operatorname {Spec} S^{-1}R}.

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו S = R − p {\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}} עם אידיאל ראשוני p {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, מתקבל החוג R p = R − p − 1 R {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=R-{\mathfrak {p}}^{-1}R}. האידיאל המקסימלי הוא p R p = S − 1 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}}.



                                     

4. דוגמאות

  • יהי R {\displaystyle R} תחום שלמות, ותהי S = R − { 0 } {\displaystyle \,S=R-\{0\}}. במקרה זה S − 1 R {\displaystyle \,S^{-1}R} הוא שדה השברים של R.
  • אם R {\displaystyle R} תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R }.
  • אם R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } ו- S = Z − p Z {\displaystyle S=\mathbb {Z} -p\mathbb {Z} } כאשר p {\displaystyle p} ראשוני, נקבל כי S − 1 R = { a b: p ∤ b } {\displaystyle S^{-1}R=\left\.
  • אם R {\displaystyle R} חוג שלם מעל C {\displaystyle C} כלומר, כל איבר של R {\displaystyle R} הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ- C {\displaystyle C} אז S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} שלם מעל S − 1 C {\displaystyle S^{-1}C} לכל S ⊆ C {\displaystyle S\subseteq C} כנ"ל.
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →